2015/03/12 by Andrea Bonito, Joseph Pasciak, Joseph E. Pasciak
Engineering · Mathematics · #Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics #Numerical methods in engineering #Numerical methods in inverse problems
paper · doi:10.1090/s0025-5718-2015-02937-8
We present and study a novel numerical algorithm to approximate the action of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript beta Baseline colon equals upper L Superscript negative beta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Tβ :=L-β </mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a symmetric and positive definite unbounded operator on a Hilbert space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The numerical method is based on a representation formula for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript negative beta"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T-β </mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in terms of Bochner integrals involving <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper I plus t squared upper L right-parenthesis Superscript negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(I+t2L)-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t element-of left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t∈ (0,∞ )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . To develop an approximation to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript beta"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Tβ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we introduce a finite element approximation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript h"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Lh</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and base our approximation to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript beta"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Tβ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript h Superscript beta Baseline colon equals upper L Subscript h Superscript negative beta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml