2015/06/03 by Olivier Ramaré, O. Ramaré · 4 citations
Mathematics · #Analytic Number Theory Research #Algebraic Geometry and Number Theory #Advanced Algebra and Geometry
paper · doi:10.1090/mcom/2991
We prove that, for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than-or-equal-to 2 000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mn>000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T≥ 2 000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than-or-equal-to upper Q greater-than-or-equal-to 10"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T≥ Q≥ 10</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma greater-than-or-equal-to 0.52"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0.52</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">σ ≥ 0.52</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we have <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript q less-than-or-equal-to upper Q Endscripts StartFraction q Over phi left-parenthesis q right-parenthesis EndFraction sigma-summation Underscript chi mod Superscript asterisk Baseline q Endscripts upper N left-parenthesis sigma comma upper T comma chi right-parenthesis less-than-or-equal-to 20 left-parenthesis 56 upper Q Superscript 5 Baseline upper T cubed right-parenthesis Superscript 1 minus sigma Baseline log Superscript 5 minus 2 sigma Baseline left-parenthesis upper Q squared upper T right-parenthesis plus 32 upper Q squared log squared left-parenthesis upper Q squared upper T right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mspace width="-0.111em"/> <mml:mfrac> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi> φ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="-0.333em"/> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mspace width="-0.667em"/> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mn>20</mml:mn> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mn>56</mml:mn> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> σ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mn>32</mm