1984/01/01 by Avner Friedman, Daniel Phillips · 5 citations
Computer Science · Mathematics · Engineering · #Advanced Mathematical Modeling in Engineering #Nonlinear Partial Differential Equations #Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics
paper · doi:10.1090/s0002-9947-1984-0728708-4
The Dirichlet problem <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta u equals lamda f left-parenthesis u right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Δ u = λ f(u)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega comma u equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Ω , u = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">∂ Ω</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is considered with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis t right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(t) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t less-than-or-equal-to 0 comma f left-parenthesis t right-parenthesis greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t ≤ 0, f(t) > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than 0 comma f left-parenthesis t right-parenthesis tilde t Superscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∼ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t > 0, f(t) ∼ tp</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t down-arrow 0 comma 0 greater-than p greater-than 1 semicolon f left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ↓ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t \downarrow 0,0 > p > 1;f(t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not monotone in general. The set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace u equals 0 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ u = 0\</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the “free boundary” <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential left-brace u equals 0 right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">∂ \ u = 0\</mm