2014/09/04 by Barry Mazur, Karl Rubin · 4 citations
Mathematics · Computer Science · #Algebraic Geometry and Number Theory #Analytic Number Theory Research #Polynomial and algebraic computation
paper · pdf · doi:10.1090/s0002-9947-2014-06114-x
We say that two elliptic curves <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E 1 comma upper E 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E1, E2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over a number field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are <italic> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -Selmer companions </italic> for a positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if for every quadratic character <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi"> <mml:semantics> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">χ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there is an isomorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S e l Subscript n Baseline left-parenthesis upper E 1 Superscript chi Baseline slash upper K right-parenthesis approximately-equals upper S e l Subscript n Baseline left-parenthesis upper E 2 Superscript chi Baseline slash upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Sel</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi> χ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≅ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Sel</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> χ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname Seln(E1χ /K) ≅ \operatorname Seln(E2χ /K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> between the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -Selmer groups of the quadratic twists <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E 1 Superscript chi"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi> χ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E1χ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E 2 Superscript chi"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> χ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E2χ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We give sufficient conditions for two elliptic curves to be <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -Selmer companions, and give a number of examples of non-isogenous pairs of companions.