Improvement by iteration for compact operator equations

1976/01/01 by Ian H. Sloan
Computer Science · Mathematics · #Matrix Theory and Algorithms #Numerical methods for differential equations #Differential Equations and Boundary Problems

paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-1976-0474802-4

Abstract

The equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y equals f plus upper K y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y = f + Ky</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is considered in a separable Hilbert space <italic>H</italic> , with <italic>K</italic> assumed compact and linear. It is shown that every approximation to <italic>y</italic> of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y Subscript 1 n Baseline equals normal upper Sigma Superscript n Baseline a Subscript n i Baseline u Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Σ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y_1n = Σ ⁿa_niu_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a given complete set in <italic>H</italic> , and the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript n i Baseline comma 1 less-than-or-slanted-equals i less-than-or-slanted-equals n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ⩽ </mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo> ⩽ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_ni,1 \leqslant i \leqslant n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , are arbitrary numbers) is less accurate than the best approximation of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y Subscript 2 n Baseline equals f plus normal upper Sigma Superscript n Baseline b Subscript n i Baseline upper K u Subscript i"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Σ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y_2n = f + Σ ⁿb_niKu_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , if <italic>n</italic> is sufficiently large. Specifically it is shown that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y Subscript 1 n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y_1n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is chosen optimally (i.e. if the coefficients <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript n i"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub>

Related

• A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals
• Variational problems with two phases and their free boundaries
• On the derivative of a polynomial
• Approximation on disks
• Numerical approximation of fractional powers of elliptic operators