2010/04/09 by Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli · 1 citation
Mathematics · #Analytic Number Theory Research #Advanced Mathematical Identities #Benford’s Law and Fraud Detection #Algorithm #Artificial intelligence #Computer science
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-10-02337-9
openalex publication_date 2010/04/09 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/06/26
A number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n>1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is harmonic if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma left-parenthesis n right-parenthesis bar n tau left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∣ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">σ (n)| nτ (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">τ (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">σ (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are the number of positive divisors of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and their sum, respectively. It is known that there are no odd harmonic numbers up to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="10 Superscript 15"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1015</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show here that, for any odd number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than 10 Superscript 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n>106</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau left-parenthesis n right-parenthesis less-than-or-equal-to n Superscript 1 slash 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">τ (n)≤ n1/3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It follows readily that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is odd and harmonic, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than p Superscript 3 a slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n>p3a/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any prime power divisor <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript a"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">pa</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mm