2018/01/01 by Sandro Bettin, Giuseppe Molteni, Carlo Sanna · 1 citation
Mathematics · Physics and Astronomy · #Advanced Mathematical Theories #Advanced Mathematical Theories and Applications #Analytic Number Theory Research #Combinatorics #Computer science #Constant (computer programming) #Harmonic #Integer (computer science) #Limits and Structures in Graph Theory #Mathematical Analysis and Transform Methods #Mathematics #Physics #Quantum mechanics
paper · pdf · doi:10.1016/j.crma.2018.11.007
openalex publication_date 2018/11/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/28
For every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> and every integer N , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> be the minimum of the distance of τ from the sums <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>∑</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"></mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"></mml:mo> </mml:math> . We prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">exp</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , for all sufficiently large positive integers N (depending on C and τ ), where C is any positive constant less than <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">log</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:math> .