2013/11/20 by Pascal Ochem, Michaël Rao · 2 citations
Mathematics · Engineering · #Analytic Number Theory Research #History and Theory of Mathematics #Diverse Scientific and Engineering Research
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-2013-02776-7
openalex publication_date 2013/11/20 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/22
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Ω (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ω (n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote, respectively, the total number of prime factors and the number of distinct prime factors of the integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Euler proved that an odd perfect number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N equals p Superscript e Baseline m squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N=pem2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p identical-to e identical-to 1 left-parenthesis mod 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p≡ e≡ 1\pmod 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is prime, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p does-not-divide m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ∤ </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\nmid m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This implies that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega left-parenthesis upper N right-parenthesis greater-than-or-equal-to 2 omega left-parenthesis upper N right-parenthesis minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Ω (N)≥ 2ω (N)-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega left-parenthesis upper N right-parenthesis greater-than-or-equal-to left-parenthesis 18 omega left-parenthesis upper N right-parenthesis minus 31 right-parenthesis slash 7"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>18</mml:mn> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>31</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mrow>