2011/04/01 by Douglas Stoll, Patrick Demichel · 1 citation
Mathematics · Computer Science · #Analytic Number Theory Research #Coding theory and cryptography #Algebraic Geometry and Number Theory #Algorithm #Artificial intelligence #Annotation #Computer science #Mathematics
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-2011-02477-4
openalex publication_date 2011/04/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/22
An analysis of the local variations of the prime counting function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">π (x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> due to the impact of the non-trivial, complex zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ϱ </mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varrho k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ζ (s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is provided for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than 10 Superscript 10 Super Superscript 13"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>13</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x>10^1013</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> using up to 200 billion <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ζ (s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> complex zeros. A new bound for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue normal l normal i left-parenthesis x right-parenthesis minus pi left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue greater-than x Superscript 1 slash 2 Baseline left-parenthesis normal l normal o normal g normal l normal o normal g normal l normal o normal g x plus e plus 1 right-parenthesis slash e normal l normal o normal g x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|\mathrm li(x)-π (x)|>x1/2(\mathrm log \mathrm log \mathrm log x+e+1)/e \mathrm log x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is proposed consistent with the error growth rate in Littlewood’s proof that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal l normal i left-parenthesis x right-parenthesis minus pi left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow>