2026/04/27 by Bernd von Mallinckrodt · 1 voice
Environmental Science · Physics and Astronomy · #Ecosystem dynamics and resilience #Chaos control and synchronization #Complex Systems and Dynamics
paper · doi:10.5281/zenodo.19812069
openalex publication_date 2026/04/27 · openalex created_date 2026/04/28 · openalex updated_date 2026/07/01
This work introduces the effective rank Φ(t), derived from the spectral entropy of the covariance matrix, as a structural complement to classical early warning signals (EWS) for critical transitions. Traditional indicators such as variance and lag-1 autocorrelation primarily capture dynamical slowing (Critical Slowing Down, CSD), but remain insensitive to structural changes in multivariate systems. In contrast, Φ(t) measures the effective dimensionality of system fluctuations, revealing how variance is distributed across degrees of freedom. Under near-equilibrium conditions and non-degenerate stochastic forcing, fold-type transitions are typically associated with a progressive concentration of variance into a reduced number of dominant modes, reflected in a systematic decrease of Φ(t) (in expectation). This phenomenon is interpreted as structural fragilization. To enhance empirical detectability, we define a composite diagnostic, the Compression–Response Transition Index (CRTI), T(t) = R(t) / Φ(t), where R(t) denotes a recovery or variability proxy. CRTI acts as an amplification mechanism, combining dynamic response and structural compression, rather than representing a fundamental law. The framework is formulated conservatively, with explicit conditions of validity and clearly identified failure modes, including anisotropic noise, finite-sample bias (Marchenko–Pastur regime), non-normal dynamics, absence of spectral separation, and violation of structural–dynamic separability. This approach complements existing early warning frameworks by adding a structural dimension to the analysis of critical transitions in multivariate systems. 🇩🇪 Description (Deutsch – optional) Diese Arbeit führt den effektiven Rang Φ(t), abgeleitet aus der spektralen Entropie der Kovarianzmatrix, als strukturelle Ergänzung klassischer Frühwarnsignale (EWS) für kritische Übergänge ein. Während klassische Indikatoren wie Varianz und Autokorrelation primär dynamische Verlangsamung (Critical Slowing Down, CSD) erfassen, bleiben strukturelle Veränderungen in multivariaten Systemen oft verborgen. Φ(t) misst dagegen die effektive Dimensionalität der Systemfluktuationen und zeigt, wie sich Varianz auf Freiheitsgrade verteilt. Unter Bedingungen nahe dem Gleichgewicht und bei nicht-degenerierter stochastischer Anregung gehen Fold-Übergänge typischerweise mit einer Konzentration der Varianz auf wenige dominante Modi einher, was sich in einer systematischen Abnahme von Φ(t) (im Erwartungswert) äußert. Dieses Verhalten wird als strukturelle Fragilisierung interpretiert. Zur Verbesserung der empirischen Detektierbarkeit wird der Compression–Response Transition Index (CRTI) definiert: T(t) = R(t) / Φ(t), wobei R(t) ein Maß für die dynamische Antwort oder Variabilität darstellt. CRTI fungiert als diagnostischer Verstärker, nicht als Naturgesetz. Das Framework ist bewusst konservativ formuliert und enthält explizite Gültigkeitsbedingungen sowie bekannte Fehlermodi, darunter anisotrope Störungen, Stichprobenverzerrungen (Marchenko–Pastur-Regime), nicht-normale Dynamik und fehlende spektrale Trennung. Dieser Ansatz ergänzt bestehende Frühwarnmethoden um eine strukturelle Perspektive auf kritische Übergänge in multivariaten Systemen. 🔑 Keywords (EN) early warning signals,critical transitions,effective rank,spectral entropy,complex systems,multivariate analysis,fold bifurcation,critical slowing down,covariance structure,random matrix theory 🔑 Keywords (DE) Frühwarnsignale,kritische Übergänge,effektiver Rang,spektrale Entropie,komplexe Systeme,multivariate Analyse,Fold-Bifurkation,kritische Verlangsamung,Kovarianzstruktur,Zufallsmatrixtheorie