2006/08/16 by Paweł Bechler, Ronald DeVore, Anna Kamont +3
Mathematics · Computer Science · #Mathematical Analysis and Transform Methods #Advanced Mathematical Modeling in Engineering #Image and Signal Denoising Methods
paper · pdf · doi:10.1090/s0002-9947-06-03903-1
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal upper V equals normal upper B normal upper V left-parenthesis double-struck upper R Superscript d Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm BV=\mathrm BV(\mathbb Rd)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the space of functions of bounded variation on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb Rd</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d≥ 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="psi Subscript lamda"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ψ </mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ψ λ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of normal upper Delta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">λ ∈ Δ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , be a wavelet system of compactly supported functions normalized in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm BV</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , i.e., <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue psi Subscript lamda Baseline EndAbsoluteValue Subscript normal upper B normal upper V left-parenthesis double-struck upper R Sub Superscript d Subscript right-parenthesis Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> ψ </mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|ψ λ |_\mathrm BV(\mathbb Rd)=1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of normal upper Delta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">λ ∈ Δ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of normal upper B normal upper V"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow>