1982/01/01 by Ll. G. Chambers · 1 citation
Mathematics · #Mathematical functions and polynomials #Fractional Differential Equations Solutions #Mathematical Inequalities and Applications
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-1982-0645673-0
It is shown, using the Rayleigh-Ritz method of the calculus of variations, that an upper bound for the first zero <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j Subscript v"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">jv</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z Superscript negative v Baseline upper J Subscript v Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z - vJv(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v greater-than negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v > - 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , is given by <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis v plus 1 right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline left-brace left-parenthesis v plus 2 right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline plus 1 right-brace comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false"></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(v + 1)1/2\ (v + 2)1/2 + 1\ ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and that for large <italic>v</italic> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v comma j Subscript v Baseline equals v plus upper O left-parenthesis v Superscript 1 slash 2 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">v,jv = v + O(v1/2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .