2026/05/15 by Bernd von Mallinckrodt · 1 voice
Environmental Science · Physics and Astronomy · Computer Science · #Ecosystem dynamics and resilience #Model Reduction and Neural Networks #Neural Networks and Reservoir Computing
paper · doi:10.5281/zenodo.20202239
openalex publication_date 2026/05/15 · openalex created_date 2026/05/16 · openalex updated_date 2026/07/01
Diese Arbeit untersucht, warum Frühwarnsignale kritischer Übergänge stark von der Wahl des beobachteten Messsignals abhängen. Aufbauend auf der Koopman-Operator-Theorie wird gezeigt, dass kritische Verlangsamung nur dann in einer Zeitreihe sichtbar wird, wenn der Beobachtungsoperator eine von Null verschiedene spektrale Projektion auf die kritische Koopman-Eigenfunktion besitzt. Die Arbeit liefert keine neue mathematische Theorie, sondern eine methodische Präzisierung und Synthese bestehender Ergebnisse aus Koopman-Theorie, nichtlinearer Dynamik und Early-Warning-Signal-Forschung. Der zentrale Beitrag besteht in der expliziten Formulierung eines spektralen Detektierbarkeitskriteriums für kritische Übergänge sowie dessen Demonstration anhand der Hopf-Normalform. Zusätzlich wird gezeigt, wie die spektrale Ausrichtung datengetrieben mittels Dynamic Mode Decomposition (DMD/EDMD) abgeschätzt werden kann. Die Ergebnisse liefern eine mathematisch präzise Erklärung dafür, warum bestimmte Observablen kritische Verlangsamung sichtbar machen, während andere trotz identischer zugrundeliegender Dynamik keine Frühwarnsignale zeigen. Daraus ergeben sich praktische Implikationen für Sensorplatzierung, Observable-Auswahl und experimentelles Design in komplexen Systemen. Keywords:Koopman Operator, Critical Transitions, Early-Warning Signals, Dynamic Mode Decomposition, Observability, Spectral Alignment, Hopf Bifurcation, Nonlinear Dynamics, Complex Systems, Detectability, DMD, EDMD, Critical Slowing Down ENGLISH This paper examines why early-warning signals of critical transitions strongly depend on the chosen observable. Using Koopman operator theory, we show that critical slowing down becomes detectable in a time series only if the observation operator has non-zero spectral projection onto the critical Koopman eigenfunction. The paper does not introduce a new mathematical theory but provides a methodological clarification and synthesis connecting Koopman theory, nonlinear dynamics, and early-warning signal research. The central contribution is the explicit formulation of a spectral detectability criterion for critical transitions together with its demonstration on the Hopf normal form. We further show how spectral alignment can be estimated from data using Dynamic Mode Decomposition (DMD/EDMD). The results provide a mathematically explicit explanation for why some observables reveal critical slowing down while others fail despite identical underlying dynamics. This has practical implications for observable selection, sensor placement, and experimental design in complex systems. Keywords:Koopman Operator, Critical Transitions, Early-Warning Signals, Dynamic Mode Decomposition, Observability, Spectral Alignment, Hopf Bifurcation, Nonlinear Dynamics, Complex Systems, Detectability, DMD, EDMD, Critical Slowing Down