2019/11/05 by Sergey Bobkov, Sergey G. Bobkov, Michel Ledoux · 16 citations
Mathematics · Computer Science · #Random Matrices and Applications #Advanced Combinatorial Mathematics #Bayesian Methods and Mixture Models
paper · doi:10.1090/memo/1259
This work is devoted to the study of rates of convergence of the empirical measures <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu Subscript n Baseline equals StartFraction 1 Over n EndFraction sigma-summation Underscript k equals 1 Overscript n Endscripts delta Subscript upper X Sub Subscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">μ n = \frac 1n ∑ k=1n δ Xk</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n ≥ 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , over a sample <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X Subscript k Baseline right-parenthesis Subscript k greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(Xk)k ≥ 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of independent identically distributed real-valued random variables towards the common distribution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">μ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in Kantorovich transport distances <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Wp</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The focus is on finite range bounds on the expected Kantorovich distances <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-parenthesis upper W Subscript p Baseline left-parenthesis mu Subscript n Baseline comma mu right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb E(Wp(μ n,μ ))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket double-struck upper E left-parenthesis upper W Subscript p Superscript p Baseline left-parenthesis mu Subscript n Baseline comma mu right-parenthesis right-parenthesis right-bracket Superscript 1 slash p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">[</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn>