2023/11/05 by György Gát
Mathematics · #Approximation Theory and Sequence Spaces #Advanced Harmonic Analysis Research #Mathematical Inequalities and Applications
paper · pdf · doi:10.1007/s00208-023-02746-z
Abstract In this paper, we investigate the relationship between pointwise convergence of the arithmetic means corresponding to the subsequence of partial Fourier sums (Skjf: j∈ \mathbb N) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> (for f∈ L1(\mathbb T) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> ) and the structure of the chosen subsequence of the sequence of natural numbers (kj: j∈ \mathbb N) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . More precisely, the problem we deal with is to provide necessary and sufficient conditions for a subsequence \mathcal N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> of \mathbb N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> that has the following property: for any subsequence \mathcal N′ = (kj: j∈ \mathbb N) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of \mathcal N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> and any f∈ L1(\mathbb T) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> one has (1)/(N)∑ j=1N Skjf(x) → f(x) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for a.e. x∈ \mathbb T <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . A direct corollary of this paper’s main theorem is that there exists a subsequence (kj) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of the sequence of natural numbers and an integrable function f such that the arithmetic means of Skjf <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> do not converge to f almost everywhere. This is a negative answer to a question that originated in an article by Zalcwasser in 1936 Zalcwasser (Stud. Math. 6 , 82–88 (1936)) for some increasing sequences (kj) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of natural numbers.