2020/07/02 by Mario Fuest · 38 citations
Biochemistry, Genetics and Molecular Biology · Computer Science · Mathematics · #Advanced Mathematical Modeling in Engineering #Boundary value problem #Bounded function #Construct (python library) #Gene Regulatory Network Analysis #Initial value problem #Mathematical Biology Tumor Growth #Neumann boundary condition #Term (time) #math.AP #msc:35B33 #msc:35B44 #msc:35K65 #msc:92C17
paper · pdf · doi:10.1007/s00030-021-00677-9
published in Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA 28(2) (Birkhäuser) · 13 pages
arxiv created 2020/07/02 · openalex created_date 2020/07/10 · openalex publication_date 2021/02/27 · arxiv updated 2021/05/10 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract Nonnegative solutions of the Neumann initial-boundary value problem for the chemotaxis system in smooth bounded domains Ω ⊂ \mathbb Rn <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , n ≥ 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , are known to be global in time if λ ≥ 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , μ gt; 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and κ gt; 2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . In the present work, we show that the exponent κ = 2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is actually critical in the four- and higher dimensional setting. More precisely, if \beginaligned namp;≥ 4,amp; κ ∈ (1, 2) \quadamp;\text and μ gt; 0
\text or namp;≥ 5,amp; κ = 2 \quadamp;\text and μ ∈ ( 0, (n-4)/(n)) , \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:mtext>or</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mspace/></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mfrac></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> for balls Ω ⊂ \mathbb Rn <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and parameters λ ≥ 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , m0 gt; 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , we construct a nonnegative initial datum u0 ∈ C0(Ω ) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mover><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> with ∫ \nolimits Ω u0 = m0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math> for which the corresponding solution ( u , v ) of ( ⋆ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:math> ) blows up in finite time. Moreover, in 3D, we obtain finite-time blow-up for κ ∈ (1, (3)/(2)) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> (and λ ≥ 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , μ gt; 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> ). As the corner stone of our analysis, for certain initial data, we prove that the mass accumulation function w(s, t) = ∫ \nolimits 0^\root n \of s ρ n-1 u(ρ , t) \mathrm dρ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mroot><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:mroot></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> fulfills the estimate ws ≤ (w)/(s) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math> . Using this information, we then obtain finite-time blow-up of u by showing that for suitably chosen initial data, s0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math> and γ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>γ</mml:mi></mml:math> , the function φ (t) = ∫ \nolimits 0s0 s-γ (s0 - s) w(s, t) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msup><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> cannot exist globally.