2020/05/31 by Tobias Black, Mario Fuest, Johannes Lankeit · 24 citations
Biochemistry, Genetics and Molecular Biology · Mathematics · Medicine · #Bifurcation #Coupling (piping) #Diffusion #Gene Regulatory Network Analysis #Mathematical Biology Tumor Growth #Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models #Nonlinear system #Stability (learning theory) #math.AP #msc:35B44 #msc:35K55 #msc:92C17
paper · pdf · doi:10.1007/s00033-021-01524-8
published in Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik 72(3) (Birkhäuser) · 21 pages
openalex created_date 2020/05/29 · openalex publication_date 2021/04/30 · arxiv created 2021/05/07 · arxiv updated 2021/05/10 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract We study the finite-time blow-up in two variants of the parabolic–elliptic Keller–Segel system with nonlinear diffusion and logistic source. In n -dimensional balls, we consider \beginaligned \ ut = ∇ ⋅ ((u+1)m-1∇ u -u ∇ v) + λ u - μ u1+κ ,
0 = Δ v - (1)/(|Ω |) ∫ Ω u + u. \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:munder> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> and \beginaligned \ ut = ∇ ⋅ ((u+1)m-1∇ u -u ∇ v) + λ u - μ u1+κ ,
0 = Δ v - v + u,. \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> <