Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy

2021/07/02 by Peter Lewintan, Stefan Müller, Patrizio Neff · 2 citations
Computer Science · Mathematics · #Advanced Harmonic Analysis Research #Advanced Mathematical Modeling in Engineering #Nonlinear Partial Differential Equations

paper · pdf · doi:10.1007/s00526-021-02000-x

openalex created_date 2020/12/07 · openalex publication_date 2021/07/02 · openalex updated_date 2026/07/29

Abstract

Abstract Let Ω ⊂ \mathbb R³ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math> be an open and bounded set with Lipschitz boundary and outward unit normal ν <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math> . For 1lt;plt;∞ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math> we establish an improved version of the generalized L^p <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:math> -Korn inequality for incompatible tensor fields P in the new Banach space \beginalignedamp;W^{1, p, r}₀( dev sym Curl ; Ω ,\mathbb R^{3× 3})
amp; = \ P ∈ L^p(Ω ; \mathbb R^{3 × 3}) | dev sym Curl P ∈ L^r(Ω ; \mathbb R^{3 × 3}), dev sym (P × ν ) = 0 \text on ∂ Ω \ \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo></mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>on</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo></mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where \beginaligned r ∈ [1, ∞ ), (1)/(r) ≤ (1)/(p) + (1)/(3), r gt;1 \text if p = (3)/(2). \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>p</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> Specifically, there exists a constant c=c(p,Ω ,r)gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> such that the inequality \beginaligned \Vert P \Vert _L^p(Ω ,\mathbb R^{3× 3})≤ c ( \Vert sym P \Vert _L^p(Ω ,\mathbb R^{3× 3}) + \Vert dev sym Curl P \Vert _L^r(Ω ,\mathbb R^{3× 3})) \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mspace/><mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> holds for all tensor fields P∈ W^{1, p, r}₀( dev sym Curl ; Ω ,\mathbb R^{3× 3}) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . Here, dev X :=X -(1)/(3) tr (X) \mathbb 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>tr</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> denotes the deviatoric (trace-free) part of a 3 × 3 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> matrix X and the boundary condition is under

Citations

• Some geometrical relations in dislocated crystals
• A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three‐dimensional elasticity

Cited by

• On Korn inequalities with lower order trace terms
• Finite element conformal complexes in three dimensions

Related

• Poincare meets Korn via Maxwell: Extending Korn's First Inequality to\n Incompatible Tensor Fields
• On an Extension of Korn's First Inequality to Incompatible Tensor Fields on Domains of Arbitrary Dimensions
• A Canonical Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated by Gradient Plasticity with Plastic Spin
• An Elementary Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated\n by Gradient Plasticity with Plastic Spin
• Dev-Div- and DevSym-DevCurl-inequalities for incompatible square tensor\n fields with mixed boundary conditions