2011/04/17 by Jean-Louis Colliot-Thélène, Colliot-Thélène, Jean-Louis, Bruno Kahn +1
Mathematics · #14C25 #14C35 #14G15 #14G25 #19E15 #Algebraic Geometry (math.AG) #FOS: Mathematics #math.AG #msc:14C25 #msc:14C35 #msc:14G15 #msc:14G25 #msc:19E15
paper · pdf · doi:10.48550/arxiv.1104.3350
Slightly revised version of arXiv:1104.3350v2 [math.AG]. To appear in the Journal of K-Theory
arxiv created 2012/07/24 · arxiv updated 2012/07/25
Let X be a smooth projective variety over a finite field \F. We discuss the unramified cohomology group H3_\nr(X,\Q/\Z(2)). Several conjectures put together imply that this group is finite. For certain classes of threefolds, H3_\nr(X,\Q/\Z(2)) actually vanishes. It is an open question whether this holds true for arbitrary threefolds. For a threefold X equipped with a fibration onto a curve C, the generic fibre of which is a smooth projective surface V over the global field \F(C), the vanishing of H3_\nr(X,\Q/\Z(2)) together with the Tate conjecture for divisors on X implies a local-global principle of Brauer--Manin type for the Chow group of zero-cycles on V. This sheds a new light on work started thirty years ago. ----- Soit X une variété projective et lisse sur un corps fini \F. On s'intéresse au groupe de cohomologie non ramifiée H3_\nr(X,\Q/\Z(2)). Un faisceau de conjectures implique que ce groupe est fini. Pour certaines classes de solides, on a H3_\nr(X,\Q/\Z(2))=0. Savoir si c'est le cas pour tout solide est un problème ouvert. Lorsqu'un solide X est fibré au-dessus d'une courbe C, de fibre générique une surface projective et lisse V sur le corps global \F(C), la combinaison de H3_\nr(X,\Q/\Z(2))=0 et de la conjecture de Tate pour X a pour conséquence un principe local-global de type Brauer--Manin pour le groupe de Chow des zéro-cycles de la fibre générique V. Ceci éclaire d'un jour nouveau des investigations commencées il y a trente ans.