2019/01/02 by Andreas Seeger, Charles K. Smart, Charles Smart +1 · 1 citation
Mathematics · #Meromorphic and Entire Functions #Advanced Differential Equations and Dynamical Systems #Advanced Harmonic Analysis Research
paper · doi:10.1090/memo/1231
We introduce a class of multilinear singular integral forms <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Lamda colon upper L Superscript p 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript d Baseline right-parenthesis times midline-horizontal-ellipsis times upper L Superscript p Super Subscript n plus 2 Superscript Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript d Baseline right-parenthesis right-arrow double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Λ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Λ :Lp1(\mathbb Rd)× ⋯ × L^pn+2(\mathbb Rd)→ \mathbb C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> which generalize the Christ-Journé multilinear forms; here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript n plus 2 Endscripts p Subscript j Superscript negative 1 Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">∑ j=1n+2 pj-1=1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript j Baseline element-of left-parenthesis 1 comma normal infinity right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">pj∈ (1,∞ ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The research is partially motivated by an approach to Bressan’s problem on incompressible mixing flows. A key aspect of the theory is that the class of operators is closed under adjoints (i.e. the class of multilinear forms is closed under permutations of the entries). This, together with an interpolation, allows us to reduce the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p 1 Baseline times midline-horizontal-ellipsis times upper L Superscript p Super Subscript n plus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Lp1× ⋯ × L^pn+2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> boundedness to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper