2011/01/25 by Chambert-Loir, Antoine
#11G10 #11G50 #14G40 #Algebraic Geometry (math.AG) #FOS: Mathematics #Number Theory (math.NT)
paper · doi:10.48550/arxiv.1101.4738
This text is devoted to the following result, stemming out works of Bombieri, Masser, Zannier, and Maurin: Let X be an complex algebraic (projective, connected) curve and let us consider n rational functions f1,...,fn on X which are multiplicatively independent. The points x of X where their values f1(x),...,fn(x) satisfy at least two independent multiplicative dependence relations form a finite set. We discuss the conjectural generalizations of this theorem (Bombieri, Masser, Zannier; Zilber; Pink) concerning the finiteness of points of a d-dimensional subvariety X of a semiabelian variety G which belong to an algebraic subgroup of codimension >d of G, their relations with theorems of Mordell-Lang or Manin-Mumford type, and, in the arithmetic case, recent results in this direction (Habegger; Rémond; Viada). ----- Ce texte est consacré au résultat suivant, issus des travaux de Bombieri, Masser, Zannier et Maurin: Soit X une courbe algébrique (projective, connexe) complexe et considérons n fonctions rationnelles f1,...,fn multiplicativement indépendantes sur X. Les points x de X où leurs valeurs f1(x),...,fn(x) vérifient au moins deux relations de dépendance multiplicative indépendantes forment un ensemble fini. Nous discutons les généralisations conjecturales de ce théorème (Bombieri, Masser, Zannier; Zilber; Pink) concernant la finitude des points d'une sous-variété X de dimension d d'une variété semi-abélienne G qui appartiennent à un sous-groupe algébrique de codimension >d dans G, leurs relations avec les théorèmes de type Mordell-Lang ou Manin-Mumford et, dans le cas arithmétique, les résultats récents dans cette direction (Habegger; Rémond; Viada).