2023/08/22 by Martin Minchev, Mladen Savov, Minchev, Martin +1 · 1 citation
Economics, Econometrics and Finance · Mathematics · Decision Sciences · #Stochastic processes and financial applications #advanced mathematical theories #Probability and Risk Models
paper · pdf · doi:10.1090/tran/9519
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi"> <mml:semantics> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ξ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Lévy process and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I Subscript xi Baseline left-parenthesis t right-parenthesis colon-equal integral Subscript 0 Superscript t Baseline e Superscript minus xi Super Subscript s Baseline normal d s"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ξ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Iξ (t)≔∫ 0te-ξ s\mathrm ds</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t≥ 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , be the exponential functional of Lévy processes on deterministic horizon. Given that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript t right-arrow normal infinity Endscripts xi Subscript t Baseline equals negative normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">lim t→ ∞ ξ t=-∞</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we evaluate for general functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> an upper bound on the rate of decay of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-bracket upper F left-parenthesis upper I Subscript xi Baseline left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi> ξ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb E [ F(Iξ (t)) ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> based on an explicit integral criterion. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-bracket xi 1 right-bracket element-of left-parenthesis negative normal infinity comma 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:m