2024/03/19 by David Bate, Ana Lucía Garcia Pulido, Ana Lucia Garcia-Pulido
Mathematics · #Advanced Topology and Set Theory #Geometric Analysis and Curvature Flows #Point processes and geometric inequalities
paper · pdf · doi:10.1007/s00208-024-02831-x
Abstract Let Ω ⊂ \mathbb Rn <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> be non-empty, open and proper. This paper is concerned with Wbp(Ω ) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , the space of p -integrable Borel measures on Ω <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> equipped with the partial transportation metric introduced by Figalli and Gigli that allows the creation and destruction of mass on ∂ Ω <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Alternatively, we show that Wbp(Ω ) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is isometric to a subset of Borel measures with the ordinary Wasserstein distance, on the one point completion of Ω <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> equipped with the shortcut metric \beginaligned δ (x,y)= min \\Vert x-y\Vert , \text dist(x,∂ Ω )+\text dist(y,∂ Ω )\. \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>min</mml:mo> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>dist</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mtext>dist</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> In this article we construct bi-Lipschitz embeddings of the set of unordered m -tuples in Wbp(Ω ) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> into Hilbert space. This generalises Almgren’s bi-Lipschitz embedding theorem to the setting of optimal partial transport.