2022/12/12 by Cristiana De Filippis, Giuseppe Mingione · 8 citations
Mathematics · Computer Science · #Nonlinear Partial Differential Equations #Differential Equations and Boundary Problems #Advanced Mathematical Modeling in Engineering
paper · pdf · doi:10.1007/s00208-022-02512-7
Abstract Minimizers of functionals of the type \beginaligned w↦ ∫ Ω [|Dw|p-fw] \textrmdx+∫ _\mathbb Rn∫ _\mathbb Rn\frac|w(x)-w(y)|γ |x-y|n+sγ \textrmdx \textrmdy\endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>↦</mml:mo><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> with p, \gammagt;1gt;s gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and pgt; sγ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , are locally C1, α <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> -regular in Ω <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> and globally Hölder continuous.