2024/04/24 by Michael Winkler
Mathematics · Biochemistry, Genetics and Molecular Biology · #Mathematical Biology Tumor Growth #Gene Regulatory Network Analysis #Bioinformatics and Genomic Networks
paper · pdf · doi:10.1007/s11856-024-2618-9
Abstract Radially symmetric global unbounded solutions of the chemotaxis system \ \matrixut = ∇ ⋅ (D(u)∇ u) - ∇ ⋅ (uS(u)∇ v), \hfill amp; \hfill \cr 0 = Δ v - μ + u, \hfill amp; μ = 1 \over |Ω |∫Ω u, \hfill \cr . <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∇</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are considered in a ball Ω = B R (0) ⊂ ℝ n , where n ≥ 3 and R > 0. Under the assumption that D and S suitably generalize the prototypes given by D ( ξ ) = ( ξ + ι ) m−1 and S ( ξ ) = ( ξ + 1) −λ−1 for all ξ > 0 and some m ∈ ℝ, λ >0 and ι ≥ 0 fulfilling m + λ lt; 1 - 2 \over n <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:math> , a considerably large set of initial data u 0 is found to enforce a complete mass aggregation in infinite time in the sense that for any such u 0 , an associated Neumann type initial-boundary value problem admits a global classical solution ( u, v ) satisfying 1 \over C ⋅ (t + 1)^1 \over λ ≤ ||u( ⋅ ,t)||_L^∞ (Ω ) ≤ C ⋅ (t + 1)^1 \over λ \rmfor \rmall t gt; 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi>