2008/01/01 by Helge Holden, Xavier Raynaud · 62 citations
Physics and Astronomy · Mathematics · Chemistry · #Nonlinear Waves and Solitons #Advanced Mathematical Physics Problems #Nonlinear Photonic Systems #Camassa–Holm equation #Semigroup #Mathematics #Radon measure #Lagrangian and Eulerian specification of the flow field #Mathematical analysis #Transformation (genetics) #Mathematical physics #Measure (data warehouse) #Energy method #Energy (signal processing) #Lagrangian #Physics #Pure mathematics #Chemistry #Computer science
paper · pdf · doi:10.5802/aif.2375
published in Annales de l’institut Fourier 58(3), 945-988 (Association of the Annals of the Fourier Institute)
openalex publication_date 2008/01/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/27
We show that the periodic Camassa–Holm equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> possesses a global continuous semigroup of weak conservative solutions for initial data <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>per</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:math> . The result is obtained by introducing a coordinate transformation into Lagrangian coordinates. To characterize conservative solutions it is necessary to include the energy density given by the positive Radon measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ac</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The total energy is preserved by the solution.