1978/11/01 by Sydney Bulman-Fleming, Kenneth McDowell · 8 citations
Computer Science · Mathematics · #Advanced Algebra and Logic #semigroups and automata theory #Rings, Modules, and Algebras #Algorithm #Computer science #Artificial intelligence #Annotation
paper · pdf · doi:10.1090/s0002-9939-1978-0505915-x
published in Proceedings of the American Mathematical Society 72(2), 228-232 (American Mathematical Society)
openalex publication_date 1978/11/01 · openalex created_date 2022/05/12 · openalex updated_date 2026/06/11
Let <bold>S</bold> (respectively <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper S 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf S0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) denote the category of all join-semilattices (resp. join-semilattices with 0) with (0-preserving) semilattice homomorphisms. For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A element-of bold upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A ∈ \mathbf S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> represent the object of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper S 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf S0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> obtained by adjoining a new 0-element. In either category the tensor product of two objects may be constructed in such a manner that the tensor product functor is left adjoint to the hom functor. An object <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A element-of bold upper S left-parenthesis bold upper S 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A ∈ \mathbf S (\mathbf S0)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is called <italic>flat</italic> if the functor - <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus circled-times upper A left-parenthesis minus circled-times upper A right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mo> ⊗ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mo> ⊗ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- ⊗ _\mathbf SA( - ⊗ _\mathbf S0A)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> preserves monomorphisms in <bold>S</bold> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis bold upper S 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\mathbf S0)</mml:annotation>