2019/03/31 by Philipp J. di Dio, Mario Kummer
Computer Science · Mathematics · #Advanced Optimization Algorithms Research #Algebraic number #Commutative Algebra and Its Applications #Construct (python library) #Extension (predicate logic) #Hankel matrix #Hilbert space #Moment (physics) #Moment problem #Monomial #Polynomial and algebraic computation #math.FA #msc:14P99 #msc:30E05 #msc:35R30 #msc:44A60 #msc:65D32
paper · pdf · doi:10.1007/s00208-021-02166-x
published as Math. Annalen 380, 267-291 (2021) · The first version contained the Carathéodory numbers from Hilbert functions and the shape reconstruction from derivatives of moments. The second part part extended and the paper is split into two papers: "Carathéodory numbers from Hilbert functions" and "Shape and Gaussian Mixture Reconstruction from Derivatives of Moments"
openalex created_date 2019/07/12 · arxiv created 2021/01/08 · openalex publication_date 2021/03/24 · arxiv updated 2021/07/20 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract In this paper we improve the bounds for the Carathéodory number, especially on algebraic varieties and with small gaps (not all monomials are present). We provide explicit lower and upper bounds on algebraic varieties, \mathbb Rn <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , and [0,1]n <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . We also treat moment problems with small gaps. We find that for every ε gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and d∈ \mathbb N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> there is a n∈ \mathbb N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that we can construct a moment functional L:\mathbb R[x1,⋯ ,xn]≤ d→ \mathbb R <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> which needs at least (1-ε )⋅ ( \beginmatrix n+d
n\endmatrix) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> atoms lxi <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> . Consequences and results for the Hankel matrix and flat extension are gained. We find that there are moment functionals L:\mathbb R[x1,⋯ ,xn]≤ 2d→ \mathbb R <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> which need to be extended to the worst case degree 4 d , L:\mathbb R[x1,⋯ ,xn]≤ 4d→ \mathbb R <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , in order to have a flat extension.