2016/08/31 by Maximilian Jeblick, Nikolai Leopold, Peter Pickl · 33 citations
Mathematics · Physics and Astronomy · #Algorithm #Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates #Computer science #Nonlinear Photonic Systems #Strong Light-Matter Interactions #math-ph #math.MP
paper · pdf · doi:10.1007/s00220-019-03599-x
published in Communications in Mathematical Physics 372(1), 1-69 (Springer Science+Business Media) · 63 pages, improved presentation, minor changes
arxiv created 2018/09/21 · openalex publication_date 2019/11/01 · arxiv updated 2021/04/27 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract We present microscopic derivations of the defocusing two-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and the Gross–Pitaevskii equation starting from an interacting N -particle system of bosons. We consider the interaction potential to be given either by Wβ (x)=N-1+2 β W(Nβ x) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>W</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> , for any β gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , or to be given by VN(x)=e2N V(eN x) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> , for some spherical symmetric, nonnegative and compactly supported W,V ∈ L^∞ (\mathbb R2,\mathbb R) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>∞</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . In both cases we prove the convergence of the reduced density corresponding to the exact time evolution to the projector onto the solution of the corresponding nonlinear Schrödinger equation in trace norm. For the latter potential VN <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub></mml:math> we show that it is crucial to take the microscopic structure of the condensate into account in order to obtain the correct dynamics.