2026/04/07 by Spiros Cotsakis
Mathematics · Physics and Astronomy · #Barotropic fluid #Black Holes and Theoretical Physics #Cosmology #Cosmology and Gravitation Theories #Curvature #Exponential function #Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena #Invariant (physics) #Quadratic equation #Quartic function #Scalar (mathematics) #Scalar field #Vector field #gr-qc #math.DS
paper · pdf · doi:10.1088/1361-6382/ae8736
published in Classical and Quantum Gravity 43(14), 145011 (IOP Publishing)
openalex publication_date 2026/07/07 · openalex created_date 2026/07/08 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract We develop a unified bifurcation-theoretic description of Friedmann–Robertson–Walker (FRW) cosmologies with a scalar field, a barotropic fluid of index <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and spatial curvature. For the strict exponential potential <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , the slope <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mstyle scriptlevel="0"/> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> acts as a distinguished parameter, and the local phase portrait is organised by a small transition set in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> plane: the kinetic endpoint threshold <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the curvature-induced scalar threshold <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the scalar–fluid exchange curve <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and the degeneracy axes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . For the quadratic (massive) potential <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , the effective slope is dynamical. We introduce a compact bounded-slope closure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>arctan</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> yielding a closed autonomous four-dimensional system in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>