2018/02/28 by Yonatan Harpaz, Olivier Wittenberg · 18 citations
Arts and Humanities · Mathematics · #Abelian group #Advanced Algebra and Geometry #Algebraic Geometry and Number Theory #Combinatorics #Compactification (mathematics) #Conjecture #Galois cohomology #Galois group #Historical Studies and Socio-cultural Analysis #Mathematics #Nilpotent #Pure mathematics #math.AG #math.NT
paper · pdf · doi:10.1090/jams/943
published in Journal of the American Mathematical Society 33(3), 775-805 (American Mathematical Society) · 31 pages, in French; updated introduction, a few improvements in the exposition (Rappel 1.3 and Lemme 7.6 are new)
openalex created_date 2018/03/06 · arxiv created 2019/10/15 · openalex publication_date 2019/10/30 · arxiv updated 2020/11/19 · openalex updated_date 2026/08/05
Soit <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> une compactification lisse d’un espace homogène d’un groupe algébrique linéaire <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> sur un corps de nombres <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Nous établissons la conjecture de Colliot-Thélène, Sansuc, Kato et Saito sur l’image du groupe de Chow des zéro-cycles de <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> dans le produit des mêmes groupes sur tous les complétés de <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Lorsque <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> est semi-simple et simplement connexe et que le stabilisateur géométrique est fini et hyper-résoluble, nous montrons que les points rationnels de <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> sont denses dans l’ensemble de Brauer–Manin. Pour les groupes finis hyper-résolubles, en particulier pour les groupes finis nilpotents, cela donne une nouvelle preuve du théorème de Shafarevich sur le problème de Galois inverse et résout en même temps, pour ces groupes, le problème de Grunwald. <sc>Abstract</sc> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a smooth compactification of a homogeneous space of a linear algebraic group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over a number field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We establish the conjecture of Colliot-Thélène, Sansuc, Kato, and Saito on the image of the Chow group of zero-cycles of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the product of the same groups over all the completions of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is semisimple and simply connected and the geometric stabiliser is finite and supersolvable, we show that rational points of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are dense in the Brauer–Manin set. For finite supersolvable groups, in particular for finite nilpotent groups, this yields a new proof of Shafarevich’s theorem on the inverse Galois problem, and solves, at the same time, Grunwald’s problem, for these groups.