2015/09/30 by Michael Frazier, Igor E. Verbitsky, Igor Verbitsky
Mathematics · #Advanced Harmonic Analysis Research #Advanced Mathematical Physics Problems #Bounded function #Combinatorics #Context (archaeology) #Domain (mathematical analysis) #Initial value problem #Mathematical analysis #Mathematical physics #Mathematics #Measure (data warehouse) #Nonlinear Partial Differential Equations #Pointwise #math.AP
paper · pdf · doi:10.5802/aif.3113
published as Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 67 (2017), no. 4, 1393-1425 · 33 pages
arxiv created 2015/09/30 · openalex publication_date 2017/09/25 · arxiv updated 2020/11/10 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/05
Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , be a bounded <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> domain. Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We give necessary conditions and matching sufficient conditions, which differ only in the constants involved, for the existence of very weak solutions to the boundary value problem <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>▵</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and the related nonlinear problem with quadratic growth in the gradient, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>▵</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We also obtain precise pointwise estimates of solutions up to the boundary. A crucial role is played by a new “boundary condition” on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> which is expressed in terms of the exponential integrability on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of the balayage of the measure <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>dist</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This condition is sharp, and appears in such a context for the first time. It holds, for example, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mspace width="0.166667em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a Carleson measure in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> , or if its balayage is in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , with sufficiently small norm. This solves an open problem posed in the literature.