2011/12/31 by Andrew R. Linshaw, Gerald W. Schwarz, Bailin Song · 16 citations
Chemistry · Mathematics · #Advanced Algebra and Geometry #Algebraic Geometry and Number Theory #Algebraic structures and combinatorial models #Chemistry #Combinatorics #Crystal structure #Crystallography #Discrete mathematics #Injective function #Invariant (physics) #Isomorphism (crystallography) #Isomorphism theorem #Mathematical physics #Mathematics #Pure mathematics #Surjective function #math.AG #math.GR #math.RT
paper · pdf · doi:10.5802/aif.2996
published in Annales de l’institut Fourier 65(6), 2571-2599 (Association of the Annals of the Fourier Institute) · Final version, to appear in Annales de l'Institut Fourier
arxiv created 2015/06/08 · openalex publication_date 2015/12/07 · arxiv updated 2020/08/10 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/05
Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> be a complex reductive group and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> -module. Then the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> th jet scheme <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> acts on the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> th jet scheme <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We are interested in the invariant ring <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and whether the map <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo lspace="0pt">:</mml:mo> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>𝒪</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> induced by the categorical quotient map <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo lspace="0pt">:</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is an isomorphism, surjective, or neither. Using Luna’s slice theorem, we give criteria for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> to be an isomorphism for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> , and we prove this when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo form="prefix">SL</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo form="prefix">GL</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo form="prefix">SO</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo form="prefix">Sp</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> is a sum of copies of the standard module and its dual, such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mspace width="-0.166667em"/> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is smooth or a complete intersection. We classify all representations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> for which <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> is surjective or an isomorphism. Finally, we give examples where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> is surjective for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> but not for finite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> , and where it is surjective but not injective. </jats: