2014/06/30 by Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz, Roderich Tumulka +2
Mathematics · Physics and Astronomy · #Basis (linear algebra) #Combinatorics #Dimension (graph theory) #Discrete mathematics #Geometry #Hilbert space #Markov Chains and Monte Carlo Methods #Mathematical analysis #Mathematics #Measure (data warehouse) #Orthonormal basis #Partition (number theory) #Physics #Quantum mechanics #Random Matrices and Applications #Space (punctuation) #Stochastic processes and statistical mechanics #Unit sphere #math-ph #math.MP #math.PR
paper · pdf · doi:10.1214/15-aihp732
published as Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques 53: 701-717 (2017) · 22 pages LaTeX, no figures; v2 minor improvements
arxiv created 2015/02/10 · openalex publication_date 2017/04/11 · arxiv updated 2019/08/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/06
Soit \mathbbXd un espace de Hilbert réel ou complexe de dimension finie mais grande d et soit \mathbbS(\mathbbXd) la sphère unité de \mathbbXd, on note u la mesure uniforme normalisée sur \mathbbS(\mathbbXd). Pour un sous ensemble fini B de \mathbbS(\mathbbXd), nous pouvons tester s’il est approximativement uniformément distribué sur la sphère en choisissant une partition A1,…,Am de \mathbbS(\mathbbXd) et en vérifiant si la fraction des points dans B qui se trouvent dans Ak est proche de u(Ak) pour tout k=1,…,m. Nous montrons que si B est n’importe quelle base orthonormée de \mathbbXd et que si m n’est pas trop grand, alors si on randomise le test en appliquant une rotation aléatoire aux ensembles A1,…,Am, l’ensemble B va passer le test avec une probabilité proche de 1. Ce résultat est relié à la loi des grands nombres. Une application de ce résultat en mécanique statistique quantique est décrite brièvement.