2017/07/14 by Leron Borsten, L. Borsten, Alessio Marrani +1
Mathematics · Physics and Astronomy · #Algebraic and Geometric Analysis #Black Holes and Theoretical Physics #Homogeneous space #Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology #Lagrangian #Lie algebra #MAGIC (telescope) #Magic square #Subalgebra #Supergravity #Symmetry (geometry) #hep-th #math-ph #math.MP #math.RA #math.RT
paper · pdf · doi:10.1088/1361-6382/aa8fe2
38 pages. Reference added and minor corrections made
arxiv created 2017/07/14 · openalex created_date 2017/07/14 · openalex publication_date 2017/09/29 · arxiv updated 2017/12/06 · openalex updated_date 2026/08/05
Abstract We introduce the extended Freudenthal–Rosenfeld–Tits magic square based on six algebras: the reals <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , complexes <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , ternions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , quaternions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> , sextonions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> and octonions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> . The sextonionic row/column of the magic square appeared previously and was shown to yield the non-reductive Lie algebras, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="fraktur">p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="fraktur">l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="fraktur">o</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">s</mml:mi> <mml:mi mathvariant="fraktur">o</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur">e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:math> , for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml