2016/11/30 by Murilo R. Cândido, Jaume Llibre, Douglas D. Novaes · 39 citations
Biochemistry, Genetics and Molecular Biology · Mathematics · Medicine · #Advanced Differential Equations and Dynamical Systems #Bifurcation #Bounded function #Combinatorics #Lipid metabolism and biosynthesis #Mathematical analysis #Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models #Mathematics #Nonlinear system #Order (exchange) #Physics #Quantum mechanics #math.DS #msc:34C25 #msc:34C29 #msc:37G15
paper · pdf · doi:10.1088/1361-6544/aa7e95
published in Nonlinearity 30(9), 3560-3586 (IOP Publishing)
arxiv created 2017/08/14 · openalex publication_date 2017/08/14 · arxiv updated 2017/08/15 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/06
Abstract In this work we first provide sufficient conditions to assure the persistence of some zeros of functions having the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mtable columnalign="left" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:munderover> </mml:mstyle> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> sufficiently small. Here <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:math> , for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mstyle> </mml:math> , are smooth functions being <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:math> an open bounded set. Then we use this result to compute the bifurcation functions which allow us to study the periodic solutions of the following T -periodic smooth differential system <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mtable columnalign="left" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo>