2016/09/26 by Mathieu Delorme, Alberto Rosso, Kay Jörg Wiese · 1 citation
Biochemistry, Genetics and Molecular Biology · Mathematics · Physics and Astronomy · #Brownian motion #Constant (computer programming) #Diffusion and Search Dynamics #Exponent #First order #Fractional Brownian motion #Gaussian #Gaussian process #Hurst exponent #Random Matrices and Applications #Stochastic processes and statistical mechanics #cond-mat.stat-mech #math-ph #math.MP
paper · pdf · doi:10.1088/1751-8121/aa5c98
13 pages, 3 figures
arxiv created 2016/09/26 · openalex created_date 2016/10/07 · openalex publication_date 2017/01/31 · arxiv updated 2017/04/26 · openalex updated_date 2026/08/06
Abstract In the theory of extreme values of Gaussian processes, many results are expressed in terms of the Pickands constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:mstyle> </mml:math> . This constant depends on the local self-similarity exponent α of the process, i.e. locally it is a fractional Brownian motion (fBm) of Hurst index <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> . Despite its importance, only two values of the Pickands constant are known: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mstyle> </mml:math> . Here, we extend the recent perturbative approach to fBm to include drift terms. This allows us to investigate the Pickands constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> </mml:mstyle> </mml:math> around standard Brownian motion ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> ) and to derive the new exact result <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mstyle> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> .