1949/01/01 by Marcel Riesz · 855 citations
Mathematics · Physics and Astronomy · #History and Theory of Mathematics #Mathematical and Theoretical Analysis #Mathematics #Relativity and Gravitational Theory
paper · pdf · doi:10.1007/bf02395016
published in Acta Mathematica 81(0), 1-222 (Mittag-Leffler Institute)
openalex publication_date 1949/01/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/06
kvant-Propos. nonumque prematur in annum.Horace.Les recherches que je prdsente ici datent d'il y a longtemps.Celles dont se composent les oinq premiers Chapitres sont, s quelques exceptions pros, des anndes I933--I936.J'en ai donnd un compte rendu tr~s sommaire au Congr~s international des math~maticiens qui a eu lieu s Oslo en I936, et un r~sumd assez complet darts une Confdrenee s la Rdunion internationale des mathdmatieiens, tenue ~ Paris en Juillet I937 sous les auspiees de la Soci~td math6matique de France.Cette confdrence, publide par les soins de la Socigtd (Paris I939) , servira,, ldg~rement remanide, d'Introduction au prdsent ouvrage.Au moment off j'ai donnd le rdsumd en question, rues dtudes visaient exelusivement les dquations s coefficients constants, et ce n'est que pendant l'dtd de 1938 que j'ai rgussi s dtendre la m~thode aux dquations ~ coefficients variables de signature lorentzienne, dont la thdorie, due s M. HADA~ARD, constitue un des plus beaux titres de gloire de ce grand savant.J'ai publid une esquisse de ees derni~res dtudes dans une Note additionnelle imprimde avee la susdite conference; ees dtudes constituent iei le dernier Chapitre.Un ami ddvoud, M. K.-G.HAGSTROm.M, a dtd pour moi un collaborateur inapprdciable dans la poursuite de ces reeherches.I1 en a pris les premieres notes, qui m'ont dtd par-la suite d'un grand seeours, et c'est encore lui qui m'a aidd dans la rddaction finale.Je tiens aussi ~ remercier rues amis M~I.O. FROST~AN et W. F~.LLER qui, chacun de son cbtd, m'ont pr~td un prdcieux concours.1--48173.Acta mathematica.81.Imprimd le 1 avril 1948.Dans des conditions de d~rivabilitd convenables, il s'agit maintenant d'~tendre la ddfinition de cette int~grale ~ des valeurs de a pour lesquelles elle cesse de converger.M. Itadamard arrive ~r cette extension pour des indices n~gatifs non entiers en retranchant de l'int~grale divergente certaines parties infinies d'ordre fractionnaire.Ce qui reste c'est alors la partie finie de l'int~grale.On peut atteindre le m~me but, et cela aussi pour l'indice zdro et les indices entiers ndgatifs, par un proc~dd qui me semble tr~s naturel, celui du prolongement (~) M. RIESZ 2; les ehiffres apres les noms d'auteurs se rapportent A la Bibliographie A la fin de eet ouvrage.(2) Cf.HADAMARD I. (a) L'extension de ]a m~thode "~ des coefficients variables, qui constitue le dernier Chapitre, est postdrieure A la~ Conference reproduite ici.(4) C'est '~ partir de la m~me int~grale, mais sans le facteur /~(a) au ddnominateur, que M. Hadamard d~finit la >)partie finie>> pour les valeurs n~gatives fraciionnaires de t~.L'absence dudit facteur est le seul obstacle 'h l'extension de cette notion h la valeur zdro et aux valeur.Q n~gatives cntieres de a. on a la formule (I3) b if J~f(o) --F(a) (f(t) --/)(t)) 0 n--1 et, en partieulier, ( I 3 bi,) J~ f(o) = f(o), J-k f(o) ~-(-i)l:f(~:)(o).CHAPITRE II.Int~grale de Riemann-Liouville dans i'espace euclidien.Potentiels.6. D~finition et propri~tds de l'intdgrale 1% Remarque.--Les gdn6ralisations de l'int~grale de R.-L.(1) dont nous allons nous occuper darts la suite se rapportent s un espaee s (ou plus bri~vement f2) '~ un hombre quelconque m (~= I) de dimensions, pourvu d'une m&rique soit euclidienne, soit lorentzienue.Nous d6signons les proc6d& d'int~gration respectifs par int6gration elliptique et int6gration hyperbolique.C'est l'int6gration hyperbolique qui forme la g6n~ralisation la plus directe de l'intdgrale de R.-L.qu'on vient d'&udier.C'est encore uniquement l'int6gration hyperbolique qui intervient dans l'application s l'6quation des ondes qui est le but principal de ce travail.Cependant, ce proc6dg pr~sentant sous certains rapports des difficult~s consid~rables qui n'interviennent pas dans le proc~d~ elliptique, il nous paralt utile de donner ici un aperqu sur le dernier proc~dd qui, tout en facilitant la lecture des chapitres suivants, n'y est nullement indispensable.Nous nous dispensons pourtant de faire pr~c6der l'expos~ de l'int~gration dans plusieurs dimensions par un expos6 concernant le cas lin6aire (m = I)(~), les difficultSs d& pendant tr~s peu du hombre de dimensions, dans le cas actuel.Dans ce chapitre on d6signe la distance euclidie~,ne de deux points Pet Q par rl,q =rq.,= r.Introduisons de la mani~re suivante un potentiel gdn6ralis~ d'ordre a. ~-ous posons, pour a positif et pour des fonctions 3"(/)) dont on va pr~ciser la natm'e plus loin, f/(Q) ,o d I (I) I"/(/)) --H~ (a).__ 2' Q Q' .(2(t) R.-L.= Riemann-Liouville.(:) Pour un probl/'me de M. Carleman relatif i~ ce cas, cf.M § RIEsz 8.