1999/05/17 by Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski · 1 citation
Mathematics · Physics and Astronomy · #Advanced Mathematical Identities #Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics #Algorithm #Parenthesis #Mathematics #Artificial intelligence #Computer science #Philosophy #Linguistics
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-99-01091-1
openalex publication_date 1999/05/17 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/06/26
We show that the Hurwitz zeta function, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis nu comma a right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ζ (ν ,a)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and the Legendre chi function, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi Subscript nu Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:mi> ν </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">χ ν (z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , defined by <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta left-parenthesis nu comma a right-parenthesis equals sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript normal infinity Endscripts StartFraction 1 Over left-parenthesis k plus a right-parenthesis Superscript nu Baseline EndFraction comma 0 greater-than a less-than-or-equal-to 1 comma upper R e nu greater-than 1 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ζ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi> ν </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>gt;</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mo>gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">ζ (ν ,a)=∑ k=0^∞ \frac 1(k+a)ν , 0gt;a≤ 1,\operatorname Re ν gt;1,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="chi Subscript nu Baseline left-parenthesis z right-parenthesis equals sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript normal infinity Endscripts StartFraction z Superscript 2 k plus 1 Baseline Over left-parenthesis 2 k plus 1 right-parenthesis Superscript nu Baseline EndFraction comma StartAbsoluteValue z EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1 comma upper R e nu greater-than 1 with nu equals 2 comma 3 comma 4 comma ellipsis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> χ </mml:mi> <mml:mi> ν </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi> ν </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Re</mml