2000/11/01 by Johan Kustermans, Stefaan Vaes · 5 citations
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paper · doi:10.1016/s0012-9593(00)01055-7
openalex publication_date 2000/11/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/31
In this paper we propose a simple definition of a locally compact quantum group in reduced form. By the word `reduced' we mean that we suppose the Haar weight to be faithful. So in fact we define and study an arbitrary locally compact quantum group, represented on the L2-space of its Haar weight. For this locally compact quantum group we construct the antipode with polar decomposition. We construct the associated multiplicative unitary and prove that it is manageable in the sense of Woronowicz. We define the modular element and prove the uniqueness of the Haar weights. Following [15] we construct the reduced dual, which will again be a reduced locally compact quantum group. Finally we prove that the second dual is canonically isomorphic to the original reduced locally compact quantum group, extending the Pontryagin duality theorem. Dans cet article nous proposons une définition simple des groupes quantiques localement compacts et réduits. L'adjectif ‘réduit’ exprime l'hypothèse de fidélité du poids de Haar. Nous définissons et étudions des groupes quantiques localement compacts arbitraires représentés sur l'espace L2 du poids de Haar. Nous construisons l'antipode de ce groupe quantique localement compact, ainsi que sa décomposition polaire. Nous construisons l'unitaire multiplicatif associé et nous démontrons qu'il est maniable au sens de Woronowicz. Nous définissons l'élément modulaire et démontrons l'unicité des poids de Haar. En nous inspirant de [15] nous construisons le dual réduit, qui est de nouveau un groupe quantique localement compact et réduit. Finalement, nous démontrons que le groupe quantique bidual est isomorphe au groupe quantique de départ, ce qui constitue une généralisation du théorème de dualité de Pontryagin.