1990/03/01 by Luigi Ambrosio, Gianni Dal Maso · 178 citations
Mathematics · #Nonlinear Partial Differential Equations #Advanced Harmonic Analysis Research #Nonlinear Differential Equations Analysis #Algorithm #Artificial intelligence #Computer science
paper · doi:10.1090/s0002-9939-1990-0969514-3
published in Proceedings of the American Mathematical Society 108(3), 691-702 (American Mathematical Society)
openalex publication_date 1990/03/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/02
We prove a general chain rule for the distribution derivatives of the composite function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upsilon left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis u left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> υ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">υ (x) = f(u(x))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u colon bold upper R Superscript n Baseline right-arrow bold upper R Superscript m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u:\mathbf Rn → \mathbf Rm</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has bounded variation and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon bold upper R Superscript m Baseline right-arrow bold upper R Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f:\mathbf Rm → \mathbf Rk</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Lipschitz continuous.