1933/01/01 by H. J. Seifert · 13 citations
Engineering · Mathematics · #3D Modeling in Geospatial Applications #Geometry #Mathematics #Pure mathematics
paper · pdf · doi:10.1007/bf02398271
openalex publication_date 1933/01/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/06
Die Frage, der sich die folgenden Oberlegungen unterordnen, ist das Hom~iomorphieproblem dreidimensionaler geschlossener Mannigfal~igkeiten.Wieviele ~opologisch nicht aufeinander abbildbare zweidimensionale Mannigfaltigkeiten vorhanden sind, dariiber gil~ der Fundamentalsatz der Fl~ichentopologie Aufschluss.Die Verfahren, die man zu seinem Beweise benutzt, haben sich bisher H. Seifert.H~ ~i Hi, (i) MN %M', (2) B ~ e3B'+xM'.(3) Darin sind die ~= • t und x ist eine beliebige ganze Zahl.Start des Gleichheitszeichens haben wir das Homologiezeichen benutzt, das hier Homologien auf der Randringfl~iche bezeichnet.Es kommt uns n~mlich nur auf Homologiebeziehungen an, und wir lassen z.B. zu, dass H' eine mit H punktfremde Faser und dass M' ein durch Deformation auf der Randringfl~che aus M hervorgegangener Meridiankreis ist.--Ein fiir allemal sei bemerkt, dass wir die Verkniipfung yon Elementen der (abelschen) Homologiegruppe additiv, solche 9 5 zwischen Elementen der Fundamentalgruppe multiplikativ schrelben."Durch die Zahlen # und v ist nicht nur der gefaserte Vollring bestimmt, sondern umgekehrt bestimmt der gefaserte Vollring die Zahlen /~ und v eindeurig, d.h.zwei gefaserte Vollringe sind dann und nur dann fasertreu aufeinander abbildbar, wenn sie in den definierenden Zahlen ~t und v iibereinstimmen.W~hlt man den Breitenkreis B geeignet (kiirzeste Verbindungslinie eines Randpunktes der Grundfl~iche und seines ~iquivalenten der Dachfl~iche auf dem Mantel des euklidischen Zylinders, gestrichelte Linie inFig. I) und orientiert man M und H geeignet, so besteht zwischen H, M, B auf der Randringfl~iche die Homologie H ~ v M + tt B, (H) die nichts anderes besagt, als dass .uund v die definierenden Zahlen des gefaserten Vollringes sind.H~itte man start H, 2;I, B ein beliebiges System H', M', B' des gegebenen gefaserten Vollringes zugrunde gelegt, so wiirde zwischen diesen Kurven eine Homologie gelten: H' N ~ M' + roB', (H') well M" und B' ein fundamentales Kurvensystem 6 der Ringfl~che ist, durch das sich jede andere Kurve ausdriickt, ttierin sind mund n relativ prime Zahlen, well die Faser voraussetzungsgem~ss doppelpunktfrei ist, und es ist m ~ o, weil sie nicht dem Meridiankreis homolog ist.Anderseits l~isst sich die Homologie Vergl.B. L. v.d.Waerden, Moderne Algebra I (Berlin I93 o) S. 19. 6 Meridian-und Breitenkreis heissen auch ein kanonisches Kurvensystem oder ein Paar konjugierter Riickkehrschnitte.(H) auf das umrechnen : Also ist: Topologie dreidimensionaler gefaserter Riiume.153 System H', M', B' zufolge der Transformationsformeln (I) bis (3) ~fH' ~ (~,~v + x#)M' + ~3!tB'.~((~ + ~)M' + ~,B' ~ n~' + roB'.Koeffizientenvergleichung lehrt, dass durch die Zahlen mund n die Zahlen tt und v eindeutig bestimmt sind: es ist [#] = [m[, also weft tt > o, tt-~ [m[ und I I v gleich dem absoluten Betrage der rood m auf das Intervall ---m bis + -m 2 2 reduzierten Zahl n.Damit sind die Zahlen tt und v als charakteristisch fiir den gegebenen Vollring erwiesen.W~hrend Meridian-und Breitenkreis schon auf einem ungefaserten Vollringe definier~ sind, setzt die vierte ausgezeichnete Kurve, deren wir sparer bediirfen, der Querkreis Q, die Faserung voraus.Er ist eine geschlossene Kurve der Randringfl~che, die jede Faser der Randringfl~tche genau einmal durchsetzt, wofiir man auch sagen kann: er ist ein zu jeder Faser H konjugierter Riickkehrschnitt der Randringfl~che.Daher ist er bis auf seine 0rientierung und bis auf Vielfaehe der Faser durch die Faserung der Randringfl~tche bestimmt, d.h.sind Q und Q' zwei Querkreise, so besteht zwisehen ihnen die Beziehung: Q -~ Q' + y H', (4) eine Formel, die zu den Transformationsformeln (I) bis (3) hinzutritt.Wie Meridian-und Breitenkreis, so bilden auch Faser H und Querkreis Q auf der 0berfl~che eines gefaserten Vollringes ein fundamentales Kurvensystem, d.h.jede andere geschlossene Kurve der Randringfl~che ist homolog einer linearen Kombination yon H und Q. Die 0berfl~che eines beliebigen gefaserten Vollringes ist eine gefaserte Ring-fl~che.Daher lassen sich die 0berfl~chen je zweier gefaserter Vollringe fasertreu auf einander abbilden.Bestimmt ist der gefaserte Vollring durch die gefaser~e Raudringfl~che erst dann, wenn auf ihr eine geschlossene Kurve M als Meridiankreis gegeben ist.M muss natiirlieh der Bedingung geniigen, auf der Rand-ringfl~che doppelpunktfrei, nicht nullhomolog und nicht der Faser homolog zu sein.Hat man auf einer gefaserten Ringfl~che die Faser H orientiert und einen Querkreis Q ausgew~hlt, so driickt sich also M mit zwei teilerfremden Zahlen ,~ (~ o) un4 fl so aus: 20--32511.