1987/01/01 by H. J. J. te Riele · 3 citations
Mathematics · #Analytic Number Theory Research #Advanced Mathematical Identities #Advanced Algebra and Geometry #Algorithm #Computer science #Artificial intelligence
paper · pdf · doi:10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6
openalex publication_date 1987/01/01 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/05/21
Following a method of Sherman Lehman we show that between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6.62 times 10 Superscript 370"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>6.62</mml:mn> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>370</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6.62 × 10370</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6.69 times 10 Superscript 370"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>6.69</mml:mn> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>370</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6.69 × 10370</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there are more than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="10 Superscript 180"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>180</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">10180</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> successive integers <italic>x</italic> for which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi left-parenthesis x right-parenthesis minus li left-parenthesis x right-parenthesis greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>li</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">π (x) - \text li(x) > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This brings down Sherman Lehman’s bound on the smallest number <italic>x</italic> for which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pi left-parenthesis x right-parenthesis minus li left-parenthesis x right-parenthesis greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>π<!-- π --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>li</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">π (x) - \text li(x) > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, namely from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1.65 times 10 Superscript 1165"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1.65</mml:mn> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1165</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1.65 × 101165</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6.69 times 10 Superscript 370"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>6.69</mml:mn> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>370</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6.69 × 10370</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Our result is based on the knowledge of the truth of the Riemann hypothesis for the complex zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta plus i gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>β<!-- β --></mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">β + iγ</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the Riemann zeta function which satisfy <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue gamma EndAbsoluteValue greater-than 450 comma 000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ<!-- γ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>450</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|γ | > 450,000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and on the knowledge of the first 15,000 complex zeros to about 28 digits and the next 35,000 to about 14 digits.