1958/01/01 by Par Goro SHIMURA · 2 citations
Mathematics · #Analytic Number Theory Research #Advanced Mathematical Identities #Algebraic Geometry and Number Theory #Mathematics #Humanities #Philosophy
paper · pdf · doi:10.2969/jmsj/01010001
openalex publication_date 1958/01/01 · openalex created_date 2016/06/24 · openalex updated_date 2026/02/09
Correspondances modulaires et les fonctions ζ de courbes alg'ebriques.Par Gor\o SHIMURA (Regu le 5 Nov., 1957) M. Eichler [3] a d'ecouvert qu'il y a une relation 'etroite entre l'op'era- teur Tp d'efini par E. Hecke et les fonctions ζ de certains corps de fonctions modulaires elliptiques qui sont en rapport avec les formes quadratiques.Dans ce travail nous allons g'en'eraliser cette relation.Soient N un entier positif et \mathfrakMN le corps complet des fonctions modu laires elliptiques d'esp'ece (((Stufe)))N;\mathfrakMN est un corps de fonctions alg'e- briques d'une variable sur le corps des nombres complexes C .Nous pouvons montrer qu'il y a un sous-corps A ayant le corps des nombres rationnels Q comme corps de constantes, qui engendre \mathfrakMN sur C .Nous allons d'emontrer que les fonctions ζ d'un tel corps p , choisi convenablement, et de certains sous-corps de Ω sont represent'ees explicitement par la fonction ζ de Rie- mann et les produits d'Euler introduits par E. Hecke et que les valeurs absolues des racines caract'eristiques de l'op'erateur Tp de Hecke pour les formes paraboliques ('\backslash (Spitzenformen))) de degr'e 2 ne d'epassent pas 2√(p) pour presque tous les nombres premiers p .Nous d'emontrerons ces resultats en 'etablissant deux formules de congruence ((I) et (II) dans \S 3) pour les correspondances modulaires.Nous repr'esentons d'abord le corps \mathfrakMN par lcs coordonn'ees des points t tels que Nt=0 sur une courbe elliptique E dont l'invariant est transcendant sur Q .L'op'erateur Tp de Hecke peut \etre regard'e comme la diff'erentielle d'une correspondance alg'ebrique que nous pouvons d'efinir d'une mani'ere alg'ebro- g'eom'etrique par un homomorphisme λ de E tel que ν(λ)=p et que nous appelons la correspondance modulaire de degr'e p .Dans la th'eorie de la multiplication complexe ([6], [7]), la relation de congruence ou la d'ecom- position de l'homomorphisme π a 'et'e obtenue par la r'eduction d'homomor- phismes d'une variet'e ab'elienne modulo un diviseur premier du corps de base.Une m'ethode analogue est employ'ee ici pour d'emontrer la formule (I); nous consid'ererons la r'eduction de l'homomorphisme λ modulo un diviseur premier.Seulement nous nous occupons au cas pr'esent d'une courbe ellip- [ique sans multiplication complexe, mais on pourrait consid'erer λ comme une ( (multiplication g'en'erique)) de la courbe elliptique.La formule com-2 G. SHIMURA plementaire (II) est d'emontr'ee au moyen du fait qui s'exprime dans la prop.7 (\S 2).Le r'esultat pour les racines caract'eristiques de l'op'erateur Tp est une cons'equence de la formule (I).\S 1. Courbes elliptiques.1. Nous d'esignerons par Z, Q et C respectivement l'anneau des entiers rationnels, le corps des nombres rationnels et le corps des nombres complexes.Soit A une vari'et'e ab'elienne1).Nous d'esignerons par d(A) l'anneau des endomorphismes de A , par d0(A) le produit tensoriel d(A)× Q et par δA l''el'ement unit'e de d(A) .Soient B une autre vari'et'e ab'elienne de m\eme dimension que A et λ un homomorphisme de A sur B .Soient k un corps de d'efinition pour A, B et λ;x un point g'en'erique de A par rapport 'a k . Nous poseronsCes entiers ne d'ependent que de A, B et λ et non du choix de k et de x .Nous d'esignerons par \mathfrakg(λ) le noyau de λ et par \mathfrakg(n, A) le noyau de nδA pour chaque entier n .Le groupe \mathfrakg(λ) est d'ordre νs(λ) .Si A est de dimen- sion d , on a ν(nδA)=n2a ; par suite \mathfrakg(n, A) est d'ordre n2a si n n'est pas multiple de la caract'eristique de k ([11]).Pour le cas o'u n est la carac-t'eristique de k , on a le lemme suivant dont la d'emonstration est donn'ee dans [8].LEMME 1. Soient k un corps de caract'eristique p≠ 0 et A une vari'et'e ab'elienne de dimension d d'efinie par rapport 'a k .On a alors νi(pδA)\geqq pa , νs(pδA)\leqq pa .Soient k un corps de caract'eristique p≠ 0, q=pf une puissance de p , o'u f est un entier positif ou n'egatif.Nous d'esignerons par kq le corps des q-i'emes puissances des 'el'ements de k .En faisant correspondre z∈ k 'a zq∈ kq on obtient un isomorphisme σ de k sur kq .Soient V une vari'et'e d'efinie par rapport 'a k et x un point de V .Nous d'esignerons par Vq et par xq la vari'et'e Vσ transform'ee par σ et le point de Vq dont les coordonn'ees sont les q-i'emes puissances de celles de x .Soient h une application rationnelle de V dans une vari'et'e W , d'efinie par rapport 'a k , et H le graphe de h .Nous d'esignerons par hq l'application de Vq dans Wq dont le graphe est 1) Il sera constamment fait usage des d'efinitions et des r'esultats de [9], [10],[11].Correspondances modulaires et les fonctions ζ de courbes al\mathscrAbriques .Hq .Soient A une vari'et'e ab'elienne d'efinie par rapport 'a k et O l''el'ement neutre de A .Nous entendrons par la notation Aq toujours la vari'et'e ab'elienne dont l''el'ement neutre est Oq .Si λ est un homomorphisme de A dans une vari'et'e ab'elienne, d'efini par rapport 'a k, λq est un homomorphisme de Aq .Soit x un point g'en'erique de A par rapport 'a k;xq est alors un point g'en'erique de Aq par rapport 'a k .Comme on a k(x)⊃ k(xq) on obtient une application rationnelle π de A sur Aq telle que π x=xq ; π est un homo- morphisme de A sur Aq ; on a π t=tq pour tout point t de A .Nous appel- lerons π l'homomorphisme de q-i'eme puissance de A .Si A est de dimension d , on a ν(π)=νi(π)=qa .LEMME 2. Soient A, B, C trois vari'et'es ab'eliennes de meme dimension, λ un homomorphisme de A sur B et μ un homomorphisme de A sur C. Supposons que A(A) soit isomorphe 'a Z et que l'on ait ν(λ)=ν(μ), νi(λ)=νi(μ)=1 .Alors, pour que B soit isomorphe 'a C , il faut et il suJfit qu'on ait \mathfrakg(λ)=\mathfrakg(μ) .D'apr'es le th.17 de [11] no34 , si l'on a \mathfrakg(λ)=\mathfrakg(μ), B est isomorphe 'a C .R'eciproquement supposons qu'il existe un isomorphisme η de B sur C .D'apr'es le th.27 de [11]il y a deux entiers n, n′ autres que 0 tels que nαηλ=n′αμ .On a alors ν(nδA)ν(α)ν(η)ν(λ)=ν(n′δA)ν(α)ν(μ) .Si l'on d'esigne par d la dimension de A , on a ν(nδA)=n2d, ν(n′δA)=n′ 2d .Comme ν(η)=1 et ν(λ)=ν(μ) , on a n=± n′ et par cons'equent ηλ=±μ ; d'o'u r'esulte \mathfrakg(λ)=\mathfrakg(ηλ)=\mathfrakg(∠ l) .LEMME 3. Les notations A, B, C, λ, μ et les hypolh'eses 'etant celles du lemme 2, soient k un corps de d'efinition pour A, B, C, λ, μ et σ un isomorphisme de k tel que Aσ=A, Bσ=C .On a alors λσ=±μ .D'apr'es le lemme 2, on a \mathfrakg(λσ)=\mathfrakg(μ) .Il y a donc un automorphisme e de C tel que λσ=εμ en vertu du th.17 de [11] no34 .Comme C est isog'ene \