2012/11/30 by Baoqiang Xia, Zhijun Qiao
Mathematics · Physics and Astronomy · #Algebraic structures and combinatorial models #Combinatorics #Component (thermodynamics) #Hamiltonian (control theory) #Integrable system #Lax pair #Mathematical physics #Mathematics #Nonlinear Photonic Systems #Nonlinear Waves and Solitons #Peakon #Physics #Quantum mechanics #nlin.SI
paper · pdf · doi:10.1098/rspa.2014.0750
published as Proc. R. Soc. A, 471: 20140750, 2015
openalex publication_date 2015/02/12 · arxiv created 2015/05/10 · arxiv updated 2015/05/12 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/08/05
A new two-component system with cubic nonlinearity and linear dispersion: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where b is an arbitrary real constant, is proposed in this paper. This system is shown integrable with its Lax pair, bi-Hamiltonian structure and infinitely many conservation laws. Geometrically, this system describes a non-trivial one-parameter family of pseudo-spherical surfaces. In the case b =0, the peaked soliton (peakon) and multi-peakon solutions to this two-component system are derived. In particular, the two-peakon dynamical system is explicitly solved and their interactions are investigated in details. Moreover, a new integrable cubic nonlinear equation with linear dispersion <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em 2em 0.278em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi>