vix.ing 路 top 路 new 路 best 路 stats

On the size of 饾憳-fold sum and product sets of integers

2003/11/25 by Jean Bourgain, Mei-Chu Chang 路 4 citations
Computer Science 路 Mathematics 路 #Digital Image Processing Techniques #Graph theory and applications #Limits and Structures in Graph Theory

paper 路 pdf 路 doi:10.1090/s0894-0347-03-00446-6

openalex publication_date 2003/11/25 路 openalex created_date 2025/10/10 路 openalex updated_date 2026/07/30

Abstract

In this paper, we show that for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="b greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">b &gt; 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there is a positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals k left-parenthesis b right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k=k(b)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an arbitrary finite set of integers, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue equals upper N greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|A|=N&gt;2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue k upper A EndAbsoluteValue greater-than upper N Superscript b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|kA|&gt;Nb</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue upper A Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline EndAbsoluteValue greater-than upper N Superscript b"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|A(k)|&gt;Nb</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">kA</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) denotes the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -fold sum (resp. product) of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This fact is deduced from the following harmonic analysis result obtained in the paper. For all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q&gt;2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> 系

Citations

Cited by