2022/08/22 by Yurii Belov, Aleksei Kulikov, Yurii Lyubarskii · 21 citations
Computer Science · Mathematics · #Algorithm #Computer science #Digital Filter Design and Implementation #Image and Signal Denoising Methods #Mathematical Analysis and Transform Methods
paper · pdf · doi:10.1007/s00222-022-01151-8
published in Inventiones mathematicae 231(2), 431-466 (Springer Science+Business Media)
openalex publication_date 2022/08/22 · openalex created_date 2025/10/10 · openalex updated_date 2026/07/31
Abstract We study the frame properties of the Gabor systems \beginaligned \mathfrak G(g;α ,β ):=\e2π i β m xg(x-α n)\_m,n∈ \mathbb Z. \endaligned <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> In particular, we prove that for Herglotz windows g such systems always form a frame for L2(\mathbb R) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> if α ,β gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , α β ≤ 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . For general rational windows g∈ L2(\mathbb R) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> we prove that \mathfrak G(g;α ,β ) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a frame for L2(\mathbb R) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> if 0lt;α ,β <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , α β lt;1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , α β \not ∈ \mathbb Q <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and g(ξ )≠ 0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , ξ gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , thus confirming Daubechies conjecture for this class of functions. We also discuss some related questions, in particular sampling in shift-invariant subspaces of L2(\mathbb R) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .