2018/01/04 by Gregory Arone, Gregory Z. Arone, Lukas Brantner +1 · 1 voice
Mathematics · #Advanced Algebra and Geometry #Advanced Combinatorial Mathematics #Advanced Mathematical Identities #math.AT #math.CO
paper · pdf · doi:10.1007/s10240-021-00123-7
arxiv published 2018/01/04 · openalex created_date 2018/01/12 · openalex publication_date 2021/03/25 · arxiv updated 2021/04/08 · openalex updated_date 2026/07/28
We study the restrictions, the strict fixed points, and the strict quotients of the partition complex <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , which is the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -space attached to the poset of proper nontrivial partitions of the set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>...</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We express the space of fixed points <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> in terms of subgroup posets for general <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and prove a formula for the restriction of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to Young subgroups <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Both results follow by applying a general method, proven with discrete Morse theory, for producing equivariant branching rules on lattices with group actions. We uncover surprising links between strict Young quotients of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , commutative monoid spaces, and the cotangent fibre in derived algebraic geometry. These connections allow us to construct a cofibre sequence relating various strict quotients <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋄</mml:mo> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and give a combinatorial proof of a splitting in derived algebraic geometry. Combining all our results, we decompose strict Young quotients of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in terms of “atoms” <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋄</mml:mo> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∧</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> odd and compute their homology. We thereby also generalise Goer