2024/05/01 by Ko Sanders · 1 citation
Physics and Astronomy · #Quantum Electrodynamics and Casimir Effect #Cosmology and Gravitation Theories #Black Holes and Theoretical Physics
paper · pdf · doi:10.1007/s00220-024-05017-3
Abstract The singular behaviour of quantum fields in Minkowski space can often be bounded by polynomials of the Hamiltonian H . These so-called H -bounds and related techniques allow us to handle pointwise quantum fields and their operator product expansions in a mathematically rigorous way. A drawback of this approach, however, is that the Hamiltonian is a global rather than a local operator and, moreover, it is not defined in generic curved spacetimes. In order to overcome this drawback we investigate the possibility of replacing H by a component of the stress tensor, essentially an energy density, to obtain analogous bounds. For definiteness we consider a massive, minimally coupled free Hermitean scalar field. Using novel results on distributions of positive type we show that in any globally hyperbolic Lorentzian manifold M for any f,F∈ C0∞ (M) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with F≡ 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on \textrmsupp(f) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>supp</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and any timelike smooth vector field tμ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> we can find constants c,Cgt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that ω (φ (f)^*φ (f))≤ C(ω (T^\textrmrenμ ν (tμ tν F2))+c) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>ren</mml:mtext> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for all (not necessarily quasi-free) Hadamard states ω <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:math> . This is essentially a new type of quantum energy inequality that entails a stress tensor bound on the smeared quantum field. In 1+1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> dimensions we also establish a bound on the pointwise quantum field, namely |ω (φ (x))|≤ C(ω (T^\textrmrenμ ν (tμ tν F2))+c) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>ren</mml:mtext> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where F≡ 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> near x .