2014/05/08 by Diego Munguía Izquierdo, Diego Izquierdo, Izquierdo, Diego
Mathematics · #11E72 #12G05 #14G05 #14G27 #Advanced Differential Equations and Dynamical Systems #Algebraic Geometry (math.AG) #FOS: Mathematics #Holomorphic and Operator Theory #Number Theory (math.NT) #Spectral Theory in Mathematical Physics #math.AG #math.NT #msc:11E72 #msc:12G05 #msc:14G05 #msc:14G27
paper · pdf · doi:10.48550/arxiv.1405.2056
81 pages, in French - Some changes concerning Poitou-Tate exact sequences for tori, different organization of the paper and some minor changes
openalex publication_date 2014/05/08 · arxiv created 2014/06/01 · arxiv updated 2014/06/03 · openalex created_date 2016/06/24 · openalex updated_date 2026/07/28
Let K be the function field of a smooth projective curve X over a higher-dimensional local field k. We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of K coming from a closed point of X. We establish duality theorems between Tate-Shafarevich groups for finite groups schemes, for tori, for groups of multiplicative type, and even for 2-term complexes of tori. We apply these results to the weak approximation for tori over K and to the study of the obstruction to the local-global principle for K-torsors under a connected linear algebraic group. We also give examples and counter-examples to the local-global principle for central simple algebras over K. Soit K le corps des fonctions d'une courbe projective lisse X sur un corps local supérieur k. On définit les groupes de Tate-Shafarevich d'un schéma en groupes commutatif en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de K provenant d'un point fermé de X. On établit des théorèmes de dualité arithmétique entre des groupes de Tate-Shafarevich pour les modules finis, pour les tores, pour les groupes de type multiplicatif, et même pour les complexes à deux termes de tores. On applique ces résultats à l'approximation faible pour les tores sur K et à l'étude du principe local-global pour les K-torseurs sous un groupe linéaire connexe. On exhibe aussi des exemples et des contre-exemples au principe local-global pour les algèbres simples centrales sur K.